Cum se calculează funcția de inversare S:S:\mathbb{F}_{2^n}\rightarrow \mathbb{F}_{2^n}, cu S(x)=x^{-1}

Teorema lui Euler este un caz special de teorema lui Lagrange aplicat grupului $(\mathbb Z/m\mathbb Z)^\times$. Se poate aplica in cazul respectiv $m=2^n$ Unde $|(\mathbb Z/m\mathbb Z)^\times|=2^{n-1}$ pentru a deduce asta pentru orice număr întreg impar $x$ $x^{2^{n-1}-1}\equiv x^{-1}\pmod{2^n}$. Cu toate acestea, acest lucru este diferit de grup $\mathbb F_{2^n}^\times$. În acest caz $|\mathbb F_{2^n}^\times|=2^n-1$ și putem folosi acest lucru pentru a deduce că pentru orice element $x\in\mathbb F_{2^n}^\times$ avem $x^{2^n-2}\equiv x^{-1}$. Elemente de $\mathbb F_{2^n}$ sunt adesea scrise ca polinoame într-o variabilă, de exemplu $X$, peste $\mathbb F_2$ modulo un polinom ireductibil, să zicem $f(X)$ de grad $n$. Astfel, un alt mod de a exprima acest lucru este de a spune că pentru orice polinom $g(X)$ coprime la $f(X)$ peste $\mathbb F_2$ avem $$g(X)^{2^n-2}\equiv g(X)^{-1}\pmod{\langle 2,f(X)\rangle}.$$