Având în vedere următoarele definiții pentru $\mathbb{Z}[x] /\left(x^{n}-1\right)$:
$$
a \cdot b \equiv \sum_{i=0}^{n-1} \sum_{j=i+1}^{n-1} a_{i} \cdot b_{j} \cdot x^{i +j}+\sum_{j=1}^{n-1} \sum_{i=n-j}^{n-1} a_{i} \cdot b_{j} \cdot x^{i+j-n}\ stânga(\bmod x^{n}-1\dreapta)
$$
În mod similar, pentru $\mathbb{Z}[x] /\left(x^{n}+1\right)$ înmulţirea este definită ca
$$
a \cdot b \equiv \sum_{i=0}^{n-1} \sum_{j=i+1}^{n-1} a_{i} \cdot b_{j} \cdot x^{i +j}-\sum_{j=1}^{n-1} \sum_{i=n-j}^{n-1} a_{i} \cdot b_{j} \cdot x^{i+j-n}\ stânga(\bmod x^{n}+1\dreapta)
$$
Un exemplu de detalii: Let $a(x) = x^{2} + 2x + 3$ și $b(x) = x^{2} + x$
Următoarele exemple sunt preluate dintr-o lucrare publicată. Presupunând că autorul a folosit formulele de mai sus pentru a calcula corect sumele finale:
Exemplul 1 spune că: În $\mathbb{Z}[x]/(x^{3} - 1)$ sumele rezultate din prima formulă sunt date ca $(5x^{2} + 3x) + (x + 3) = 5x^{2} + 4x + 6$.
Întrebarea 1: Cum se obține 6 în răspunsul final? nu ar trebui să fie
$5x^{2} + 4x + 3$? deoarece $\mathbb{Z}[x]$ înseamnă că lucrăm cu polinoame în $x$ ai caror coeficienti sunt definiti peste $\mathbb{Z}$, mulțimea tuturor numerelor întregi.
Exemplul 2: În $\mathbb{Z}[x]/(x^{3} + 1)$ sumele rezultate din a doua formulă sunt $(5x^{2} + 3x) - (x + 3) = 5x^{2} + 2x$.
Întrebarea 2: În mod similar, dacă răspunsul rezultat nu ar fi $5x^{2} + 2x - 3$ deoarece există o restricție asupra coeficienților (de exemplu, nu lucrăm în $\mathbb{Z}_q$ pentru unele specificate $q$).
