Multiplicitățile polilor unui divizor al unei funcții raționale w.r.t. o curbă eliptică

Citesc Sec. 5.8.2 din manualul Introduction to Mathematical Cryptology (Hoffstein, Pipher și Silverman), un precursor al introducerii structurii perechii Weil.Mai întâi definește o funcție rațională într-o variabilă, $f(x)$ zerourile și polii corespunzătoare și le folosește pentru a defini $div(f(x))$. Ei trec la curbele eliptice. Ei definesc o $E: y^2 = x^3+ax+b$ și considerăm o funcție rațională în două variabile $f(x,y)$ și definiți poli și zerourile lui $f$ pe $E$ ca punctele de $E$ unde numitorul și numărătorul lui $f$ dispare, respectiv. Ei consideră apoi exemplul (Exemplul 5.35) unde $x^3+ax+b = (x-\alpha_1)(x-\alpha_2)(x-\alpha_3)$. Ei definesc $P_1 = (\alpha_1,0)$, $P_2 = (\alpha_2,0)$, $P_3 = (\alpha_3,0)$ și rețineți că sunt de ordine $2$. Ei se uită la funcție $y$ si spune ca dispare la $P_1, P_2, P_3$, ceea ce înseamnă că sunt zerouri. Apoi continuă să definească divizorul lui $y$ la fel de $div(y) = [P_1]+[P_2]+[P_3] - 3[\mathcal{O}]$.

Nu pot să înțeleg cum au ajuns la concluzie $\mathcal{O}$ este un pol de $y$ și are multiplicitate $3$.