Acesta nu este un răspuns.
În speranța de a ajuta pe oricine se gândește la asta și în lumina comentariului lui @TMM, iată puțin mai multă expresie în jurul afirmației „Intuitiv, cineva simte că dacă $\beta_2$ este mic, atunci contribuțiile diferiților vectori la scor nu vor fi independente”.
Luați în considerare cazul $\beta_2=1$. În acest caz, toate noastre $(\mathbf x^T,\mathbf y^T)$ vectorii vor fi multipli ai unui singur vector generator, de exemplu $\alpha(\mathbf x_0^T,\mathbf y_0^T)$ cu $\alpha$ poate ceva Gaussian discret în funcție de numărul de vectori. Acum există $q^{n-1}$ vectori $\mathbf v$ astfel încât $\mathbf x_0^T\cdot\mathbf v=0$. Luați în considerare orice vector de formă $\mathbf v+\mathbf e$ Unde $\mathbf e$ este extras din aceeași distribuție ca eșantionul LWE. Ne așteptăm, poate $O(\sigma^nq^{n-1})$ astfel de vectori (vectorii cu două astfel de reprezentări ar trebui să fie rari) și pentru mari $n$ ne-am putea aștepta ca acestea să acopere cea mai mare parte a spațiului. Scorul acestor vectori este dat de $\alpha\mathbf x_0^T\mathbf e$ iar scorul soluţiilor cauzale este dat de $\alpha(\mathbf x_0^T\mathbf e+\mathbf y_0^T\mathbf s)$. Spațiul vectorilor cauzali ar fi imposibil de distins.
Mai general pentru $\beta_2=k$ fix, ar exista o bază de $k$ $(\mathbf x_i^T,\mathbf y_i^T)$ vectori cu setul nostru de testare format din combinații liniare de vectori de bază unde coeficienții sunt gaussieni(?). Din nou va exista un set de $q^{n-k}$ vectori $\mathbf v$ perpendicular pe toate $\mathbf x_i^T$ şi un poate un cartier de $O(\sigma^nq^{n-k})$ de vectori non-cauzale cu scor scăzut.
Acest lucru pare să sugereze că $\beta_2$ ar trebui să fie cel puțin $n\log \sigma/(\log q)$, dar ar putea exista alte seturi structurale, dar non-cauzale, precum și scoruri scăzute non-structurale. De asemenea, argumentele pentru lipsa de suprapunere în vecinătate și între mulțimile cauzale sunt în cel mai bun caz euristic.
