Algoritm care rezolvă un sistem de ecuații liniare peste câmpuri finite atunci când este necesar un parametru

Citeam ziarul lui Kipnis și Shamir Criptanaliză a criptosistemului cu cheie publică HFE prin reliniarizare și am vrut să implementez exemplul de la sfârșit în Octave fără a folosi niciun pachet suplimentar (de exemplu, simbolic ...). Aș dori să creez un algoritm care rezolvă sisteme de ecuații liniare pe câmpuri finite (q = 7 în acest caz) unde aveți mai multe variabile decât ecuații (în acest caz voi avea nevoie de un parametru).

Sunt destul de nou în acest subiect, așa că am încercat să setez $y_{12} = z$ (exemplu din hârtie) și a scăzut $y_{12}$ vector din soluția pt $z = ${$1, 2$} și a rezolvat sistemul de ecuații pentru cele două soluții noi pentru a încerca să găsească panta soluțiilor parametrice:
$ y_{11} = 2 + 5z \ y_{12} = z \ y_{13} = 3 + 2z \ ... $

Acest lucru nu părea să funcționeze din motive pe care cred că le cunosc și acum nu știu ce să fac. Aș aprecia ajutorul tău.
Pentru a economisi puțin timp la copierea ecuațiilor pe Octave, vă las cu asta:

eq = [3 5 5 2 6 4 5; 6 1 4 4 5 1 6; 5 2 6 2 3 2 5; 2 0 1 6 5 5 0; 4 6 2 5 1 4 0];