Rezultate dualitate pentru unele rețele de modul

Lăsa $R$ fi inelul de numere întregi ale unui câmp ciclotomic $\mathbb{Q}(\zeta_n)$, Unde $n$ este o putere a doi și $\boldsymbol{a} \in R_{q}^{m}$, pentru $m\in\mathbb{Z}^+$, $q\in\mathbb{Z}_{\geq2}$ prim. Definiți următoarele $R$-module, unde $I$ este un ideal al $R_{q} = R/qR$: $$ \begin{adunat} \boldsymbol{a}^{\perp}(I):=\left\{\left(t_{1}, \ldots, t_{m}\right) \in R^{m}: \forall i,\ stânga(t_{i} \bmod q\right) \in I \text { și } \sum_{i} t_{i} a_{i}=0 \bmod q\right\}, \ L(\boldsymbol{a}, I):=\left\{\left(t_{1}, \ldots, t_{m}\right) \in R^{m}: \exists s \in R_{q }, \forall i,\left(t_{i} \bmod q\right)=a_{i} \cdot s \bmod I\right\}. \end{adunat} $$ Idealurile de $R_{q}$ poate fi scris sub forma $I_{S}:=\prod_{i \in S}\left(x-\zeta_n^{i}\right) \cdot R_{q}=\left\{a \in R_{q}: \forall i \în S, a\left(\zeta_n^{i}\right)=0\right\}$, Unde $S$ este orice subset al $\{1, \ldots, n\}$ (cel $\zeta_n^{i}$Sunt rădăcinile $\Phi_n$ modulo $q$ ). Defini $I_{S}^{\times}=\prod_{i \in S}\left(x-{\zeta_n^{i}}^{-1}\right) \cdot R_{q}$.

Autorii acestui hârtie apoi demonstrează (Lema 7): fie $S \subseteq\{1, \ldots, n\}$ și $\boldsymbol{a} \in R_{q}^{m}$. Lăsa $\bar{S}=\{1, \ldots, n\} \backslash S$ și $\boldsymbol{a}^{\times} \in$ $R_{q}^{m}$ fi definit de $a_{i}^{\times}=a_{i}\left(x^{-1}\right)$. Apoi, cu $\widehat{\cdot}$ indicând dualul unei rețele: $$ \widehat{\boldsymbol{a}^{\perp}\left(I_{S}\right)}=\frac{1}{q} L\left(\boldsymbol{a}^{\times}, I_{ \bar{S}}^{\times}\right). $$ Întrebarea mea este: în timp ce izolarea $\frac{1}{q} L\left(\boldsymbol{a}^{\times}, I_{\bar{S}}^{\times}\right)\subset \widehat{\boldsymbol{a} ^{\perp}\left(I_{S}\right)}$ este clar pentru mine, nu pot dovedi direcția inversă $\widehat{\boldsymbol{a}^{\perp}\left(I_{S}\right)}\subset\frac{1}{q} L\left(\boldsymbol{a}^{\times}, I_{\bar{S}}^{\times}\right)$. Cum se obține rezultatul?