Depinde de $\alpha,N,x$ secvența $x\mapsto x^\alpha \mod N$ poate avea o lungime diferită. Dacă primul element $x_0$ este inițializată cu $x_0 = x_r^\alpha$ pentru o întâmplare $x_r$ secvența va avea aproape întotdeauna aceeași dimensiune constantă.
Ne vom concentra aici doar pe secvențele cele mai comune cu dimensiune maximă $N_L$ (pentru dat $\alpha,N$).
În funcție de ales $x_0$ poate duce la secvențe diferite, disjunse, cu aceeași dimensiune maximă a secvenței.
Întrebare: Există vreo formulă generală pentru a calcula numărul acelor secvențe (pentru data $\alpha,N$)?
Editare: Răspunsul postat și acceptat nu a răspuns la această întrebare, dar a fost de mare ajutor.
Un răspuns la această întrebare este încă binevenit. (editează sfârșitul)
În timp ce mă chinuiam, am găsit deja o formulă pentru unii $N, \alpha$ de structură specială. Lungimea ciclului $\alpha$ modulo unii factori primi ai $\phi(N)$ precum şi factorii de $\phi(\phi(N))$ par să aibă un anumit impact asupra acestui număr.
Este, de asemenea, legat de numărul de valori diferite $N_{\alpha}=|\{x^\alpha \bmod N\}|$ și lungimea maximă a acelor secvențe $N_L$.
Pentru $N_\alpha$ a primit un răspuns în altul fir. Dacă $N$ este un produs al factorilor primi unici:
$$N = \prod_{i=1}^n p_i$$
Numărul de valori diferite $N_\alpha$ va fi
$$N_{\alpha} =\prod_{i=1}^n\left(1+\frac{p_i-1}{\mathrm{gcd}(\alpha,p_i-1)}\right)$$
Pentru $N_L$ Am inventat doar niște ecuații care funcționează pentru unii $N, \alpha$. O formulă generală ar fi, de asemenea, binevenită.
Ambele împreună ar putea duce la o aproximare a numărului de secvențe.
Întrebare secundară: Au acele secvențe un nume special? Este aceasta și alte proprietăți descrise undeva (într-o formă compactă)?
Ținta $N$ va avea de asemenea $2$,$3$ sau $4$ factori primi unici impari.
