Avertisment mare că nu sunt un probabilist, iar răspunsul dvs. într-adevăr nu include prea multă criptografie, așa că ar putea fi mai potrivit pentru a întreba un probabilist undeva (să spunem pe math.se sau ceva de genul).
După cum sa menționat în comentarii, acest lucru este ușor fals. Lăsa $P_n, Q_n$ ambele să fie distribuite ca orice distribuție simetrică și fie $R_n\sim \{-1,1\}$ fi uniformă.
Definiți distribuțiile comune $P_n\ori R_n$ și $Q_n\ori R_n$ după cum urmează --- marginalele pe ambele $X$ și $Y$ sunt fixate ca mai sus, dar
$$\Pr[(P_n\times R_n)\in E] = \Pr[(P_n\times R_n)\in E\mid R_n = b]\Pr[R_n = b].$$
Acum, în timp ce discutăm despre simetrie, scrieți $X = X_1\cup X_{-1}$.
Să presupunem că simetria schimbă aceste două componente.
Acum definim distribuțiile condiționate
$$\Pr[(P_n\times R_n)\in E\mid R_n = b] = \begin{cases}0 & E\cap X_{b}\neq \emptyset \
2\Pr[P_n(E_X)]&\text{else}
\end{cazuri}.$$
Aceasta înseamnă că distribuția condiționată este definită astfel încât o variabilă aleatorie cu $R_n = b$ este in $X_b$, de exemplu. componentele $P_n, R_n$ sunt „perfect corelate”. Pentru $Q_n$, faceți același lucru, dar inversați rolurile $X_1, X_{-1}$, de exemplu. avea $Q_n, R_n$ să fie „perfect anti-corelat”.
Este simplu să vedem că aceste variabile aleatorii au marginale identice și, prin urmare, sunt perfect indistinguibile (și statistic, de asemenea).
Este de asemenea simplu pentru a vedea că distribuţiile comune $P_n\ori R_n$ și $Q_n\ori R_n$ au suporturi disjunse, deci
$$0 = \Delta(P_n, Q_n) \leq \Delta(P_n\times R_n, Q_n\times R_n) = 1,$$
și, prin urmare, ele nu sunt indistinguibile statistic aleatoriu.
Rețineți că dacă presupuneți $P_n, R_n$ sunt independenți (în limba dvs $E$ factori ca $E_X\ori E_Y$ Cred că), răspunsul este ușor adevărat.
Ca o schiță a dovezii, prin inegalitatea de prelucrare a datelor avem asta $\Delta(P_n, Q_n) \geq \Delta(f(P_n), f(Q_n))$ pentru orice randomizat $f$, inclusiv $f : X\la X\ori Y$ acele mostre $R_n$ independent și ieșiri $f(x) = (x, R_n)$.
Nu este ceea ce ați întrebat, dar este totuși util să rețineți.
