„Este posibil să existe o mapare homomorfă din $\mathbb F_{p^n}$
la $\mathbb Z_{p^n}$ care păstrează atât operatorii de adunare, cât și de înmulțire?"
În afară de izomorfismul când $n=1$, doar maparea foarte plictisitoare care trimite totul la 0. Luați în considerare identitatea multiplicativă a $\mathbb F_{p^n}$. Scriem asta ca 1 și luăm în considerare homomorfismul nostru presupus $\phi$. Vedem asta prin adăugarea de aditivitate $k$ copii de 1, pentru orice număr întreg $k$ avem $\phi(1+\cdots+1)=k\phi(1)\mod {p^n}$ si in special cu $k=p$ noi vedem asta $p\phi(1)=\phi(0)=0$ astfel încât $\phi(1)=cp^{n-1}$ pentru unii $1\le c\le p$. Mai mult, prin multiplicativitate avem $\phi(1)=\phi(1\cdot 1)=\phi(1)\phi(1)$ astfel încât $\phi(1)=1$ sau $0$. Tragem concluzia că $c=p$ și $\phi(1)=0$ (cu excepția cazului $n=1$). Mai mult, pentru orice $\alpha\in\mathbb F_{p^n}$ $\phi(\alpha)=\phi(1\cdot\alpha)=\phi(1)\phi(\alpha)=0$.
„Sau dacă relaxăm cerința, putem avea o mapare homomorfă din grupul multiplicativ $\mathbb F_{p^n}^\times$ la $\mathbb Z_{p^n}^\times$ care păstrează înmulțirea?"
Doar puțin mai puțin plictisitor. Rețineți că $|\mathbb F_{p^n}^\times|=p^n-1$ și $|\mathbb Z_{p^n}^\times|=p^n-p^{n-1}$. Mărimea imaginii oricărui homomorfism trebuie să împartă GCD-ul acestor două care este $p-1$. Vedem că imaginea trebuie să fie un subgrup al $(p-1)$rădăcinile de 1 in $\mathbb Z_{p^n}$. Acum alegeți orice generator multiplicativ de $\mathbb F_{p^n}^\times$ numi asta $\alpha$. Exista exact $p-1$ grup homomorfisme în funcție de care dintre $(p-1)$rădăcinile-lea 1 este egală cu $\phi(\alpha)$. Nucleul va fi $\ell$puterile în $\mathbb F_{p^n}^\times$ Unde $\ell|(p-1)$ este ordinul multiplicativ al $\phi(\alpha)$ în $\mathbb Z_{p^n}^\times$.
