Puncte:2

De ce mulțimea punctelor r-torsionare este izomorfă cu $\mathbb{Z}_r \times \mathbb{Z}_r$

drapel fr

citesc „Despre implementarea criptosistemelor bazate pe împerechere”.

Se afirmă că $E(\mathbb{F}_{k^q})[r]$ este izomorfă cu produsul lui $\mathbb{Z}_r$ cu sine. $E(\mathbb{F}_{k^q})[r]$ este setul de $r$-punctele de torsiune, care înseamnă toate punctele, $P$ Unde $rP = O$ (Cred).

Bine. Să testăm asta cu $r = 2$. Știm, cele 4 soluții sunt: $\{O, (a_0, 0), (a_1, 0), (a_2, 0)\}$ Unde $a_n$ este $n$-a rădăcină la cubic $x^3 + ax + b = 0$.

Dar $\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2$ este $\{(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1)\}$.

Bănuiesc că este izomorf, deoarece există 4 elemente în fiecare set. Dar... Nu sunt sigur cum adaugă vreo valoare afirmarea că există un izomorfism?

De exemplu: Am putea spune doar $E(\mathbb{F}_{k^q})[r]$ are $r^2$ elemente (care este de dimensiunea $\mathbb{Z}_r \times \mathbb{Z}_r$).

Puncte:1
drapel gb

$E(\mathbb{F}_{k^q})[r]$ este setul de $r$-punctele de torsiune, care înseamnă toate punctele, $P$ Unde $rP = O$ (Cred).

Corect.

Bănuiesc că este izomorf, deoarece există 4 elemente în fiecare set. Dar... Nu sunt sigur cum adaugă vreo valoare afirmarea că există un izomorfism?

De exemplu: Am putea spune doar $E(\mathbb{F}_{k^q})[r]$ are $r^2$ elemente (care este de dimensiunea $Z_r \times Z_r$).

Înțelegerea acestei structuri este destul de importantă pentru o mulțime de aplicații în criptografie. De exemplu, este foarte fundamental în criptografia bazată pe izogenie. Motivul pentru aceasta este că, ca produs a două grupuri ciclice, este generat de două puncte (independente). $P, Q$ de ordine $r$. Adică, fiecare punct din torsiune poate fi scris ca $[a]P + [b]Q$ pentru unii coeficienți $a,b$. Comparați acest lucru, să zicem, cu criptografia clasică cu curbă eliptică, unde lucrăm într-un grup ciclic și fiecare punct poate fi scris ca $[x]G$ pentru un singur generator $G$. Nu există puncte de ordine $r^2$ în $E(\mathbb{F}_{k^q})[r]$, chiar dacă grupul însuși are ordine $r^2$.

Din cauza acestei structuri, există $r+1$ subgrupe de ordine $r$ în subgrupul de torsiune. Acest lucru este important în criptografia bazată pe izogenie, deoarece fiecare dintre aceste subgrupe formează nucleul unei izogenii diferite de curbă. $E$.

Studierea structurii $p$-subgrupuri de torsiune când $p$ este caracteristica domeniului (ceea ce se pare că ați numit $k$ - Bănuiesc că ai scris $q$ și $k$ invers) clasifică, de asemenea, curbele eliptice în curbe „obișnuite” și „supersingulare”.

Pentru mai multe informații, vezi „Aritmetica curbelor eliptice” a lui Silverman, secțiunea III, Corolarul 6.4.

În critografia bazată pe perechi, această structură este, de asemenea, extrem de importantă. O referință bună pentru mai multe informații în acest domeniu este „Perechile pentru începători” a lui Craig Costello. (Vezi capitolul 4 în special).

Foobar avatar
drapel fr
Multumesc pentru explicatie. Mă uit la „Pereche pentru începători” a lui Craig Costello și folosește simbolul „|” o sumă decentă. De exemplu: $r\, |\, 105$.Stii ce inseamna?
Morrolan avatar
drapel ng
Aceasta va denota probabil relația „divizează”. Adică $x | y \Leftrightarrow y = kx, k \in \mathbb{Z}$.

Postează un răspuns

Majoritatea oamenilor nu înțeleg că a pune multe întrebări deblochează învățarea și îmbunătățește legătura interpersonală. În studiile lui Alison, de exemplu, deși oamenii își puteau aminti cu exactitate câte întrebări au fost puse în conversațiile lor, ei nu au intuit legătura dintre întrebări și apreciere. În patru studii, în care participanții au fost implicați în conversații ei înșiși sau au citit transcrieri ale conversațiilor altora, oamenii au avut tendința să nu realizeze că întrebarea ar influența – sau ar fi influențat – nivelul de prietenie dintre conversatori.