$E(\mathbb{F}_{k^q})[r]$ este setul de $r$-punctele de torsiune, care înseamnă toate punctele, $P$ Unde $rP = O$ (Cred).
Corect.
Bănuiesc că este izomorf, deoarece există 4 elemente în fiecare set. Dar... Nu sunt sigur cum adaugă vreo valoare afirmarea că există un izomorfism?
De exemplu: Am putea spune doar $E(\mathbb{F}_{k^q})[r]$ are $r^2$ elemente (care este de dimensiunea $Z_r \times Z_r$).
Înțelegerea acestei structuri este destul de importantă pentru o mulțime de aplicații în criptografie. De exemplu, este foarte fundamental în criptografia bazată pe izogenie. Motivul pentru aceasta este că, ca produs a două grupuri ciclice, este generat de două puncte (independente). $P, Q$ de ordine $r$. Adică, fiecare punct din torsiune poate fi scris ca $[a]P + [b]Q$ pentru unii coeficienți $a,b$. Comparați acest lucru, să zicem, cu criptografia clasică cu curbă eliptică, unde lucrăm într-un grup ciclic și fiecare punct poate fi scris ca $[x]G$ pentru un singur generator $G$. Nu există puncte de ordine $r^2$ în $E(\mathbb{F}_{k^q})[r]$, chiar dacă grupul însuși are ordine $r^2$.
Din cauza acestei structuri, există $r+1$ subgrupe de ordine $r$ în subgrupul de torsiune. Acest lucru este important în criptografia bazată pe izogenie, deoarece fiecare dintre aceste subgrupe formează nucleul unei izogenii diferite de curbă. $E$.
Studierea structurii $p$-subgrupuri de torsiune când $p$ este caracteristica domeniului (ceea ce se pare că ați numit $k$ - Bănuiesc că ai scris $q$ și $k$ invers) clasifică, de asemenea, curbele eliptice în curbe „obișnuite” și „supersingulare”.
Pentru mai multe informații, vezi „Aritmetica curbelor eliptice” a lui Silverman, secțiunea III, Corolarul 6.4.
În critografia bazată pe perechi, această structură este, de asemenea, extrem de importantă. O referință bună pentru mai multe informații în acest domeniu este „Perechile pentru începători” a lui Craig Costello. (Vezi capitolul 4 în special).
