Să presupunem că avem un joc bayesian, unde $t_i\în T_i$ denotă tipul de jucător $i$. Să spunem că avem un joc de comunicare (echilibru de comunicare). Jucătorii își trimit reciproc un mesaj criptat despre tipul lor. Dacă $L_i$ este un spatiu izomorf al $T_i$ și $\phi_i:T_i\la L_i$ este o permutare (injecție + surjecție= bijecție), apoi fiecare jucător $i$ în loc să-și trimită tipul fiecărui jucător, pot trimite mesajul $\phi_i(t_i)=l_i$. De asemenea, pentru a se proteja de înșelăciune, lasă $\rho_i:L_i\time Y_i\to X_i$ fi un cifr, care codifică informațiile private ale jucătorului $i$, acesta este, $y_i\în Y_i$ este cheia și $x_i\în X_i$ este codul, unde din nou $\rho_i(\cdot,y_i)$ este un bijectiv astfel încât perechea $(x_i,y_i)$ este asociat cu exact unul $l_i$. Din motive tehnice am făcut ipoteza $|Y_i|\geq|T_i|$ (dar de ce? Aceasta este proprietatea lui Shannon?).
În jocul nostru avem $I$ jucători, cu reprezentarea de mai sus putem folosi o lemă din teoria probabilității, adică:
$\textbf{Lema:}$ Dacă $\phi_i$ este o variabilă aleatoare cu suport activat $\{1,2,\dots,n_i\}$, și $y_i$ este distribuit uniform peste $\{1,2,\dots,n_i\}$ independent de $\phi_i$, apoi variabila aleatoare $x_i$ definit ca $x_i=\phi_i\ominus_{n_i}y_i$ (Unde $\phi_i\ominus_{n_i}y_i=\phi_i-y_i(mod{n}_i)$) este, de asemenea, distribuită uniform peste $\{1,2,\dots,n_i\}$.
Cu alte cuvinte $l_i=\phi_i(t_i)=x_i\oplus_{n_i}y_i$. Apoi fiecare jucător $i$ în loc să trimită $l_i$ celorlalți agenți ca mesaj, ea le trimite pe jumătate $x_i$ și restul dintre ei (nu știm dacă $I=2k$ sau $I=2k+1$, cu $k\neq 0$ un număr întreg potential) $y_i$. Apoi într-o fază ulterioară îi comunică pe fiecare pentru a uni piesele și a verifica că doar învață $l_i=\phi_i(t_i)=x_i\oplus_{n_i}y_i$ (totuși ei încă nu au învățat $t_i$ dar $\phi_i(t_i)=l_i$.
Întrebările mele sunt următoarele
- Este sigur acest mecanism de transmitere a informațiilor? Dacă nu, cum pot să o fac?
- Aș putea folosi o schemă ca în partajarea secretă, în care fiecare jucător $i$ putea distribui acțiunile cheii $y_i$ tuturor celorlalți jucători $j\în I-\{i\}$? De exemplu, aș putea presupune că $y_i$ este scrisă ca o combinație liniară a unora $w_i$ că toate acestea $w_i$ sunt nenule și independente astfel încât $y_i=\sum_{j=1}^{I-1}w_jy_j$? Este corect sau greșit? Ar putea cineva să ofere ajutor-referințe-ghid sau să arate niște matematici care ar putea face posibilă realizarea unei astfel de construcții?
În general, cum pot îmbogăți acest mecanism de comunicare pentru a deveni mai eficient și mai sigur?
