Acest lucrarea spune că, fiecare cvasigrup de ordinul 4 poate fi reprezentat sub formă de matrice folosind următoarea ecuație,
\begin{equation} x \ast y \equiv m^T +Ax^T +By^T +CA\cdot x^T \circ CB\cdot y^T \end{equation}
Unde, $A = \begin{bmatrix} a_{11} și a_{12}\ a_{21} și a_{22} \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} b_{11} și b_{12}\ b_{21} și b_{22} \end{bmatrix}$ sunt matrici booleene nesingluare și $m = [m_1, m_2]$ este un vector boolean. Rețineți că trebuie să luăm în considerare și reprezentarea booleană a elementelor $x$ și $y$ pentru ca ecuația să aibă sens.
Acum, deoarece avem de-a face cu reprezentări booleene ale elementelor, am interpretat toate operațiile din ecuația de mai sus ca operații booleene „+”, „. și $'\circ'$ este un produs punctual care ar însemna operarea elementelor corespunzătoare ale matricelor folosind '$\cdot$'.
Din nou, conform acest, orice matrice nesingulară arbitrară A, B, un vector boolean m și un anumit C, obținem cvasigrupuri corespunzătoare de ordinul 4.
Deoarece această reprezentare a fost folosită în proiectarea unor cifruri bloc eficiente, am sperat să le pot folosi în primitive criptografice.
Ca experiment, am considerat, $m=[0, 0]$, $A=\begin{bmatrix} 1 și 1\ 1 și 0 \end{bmatrix}, B=\begin{bmatrix} 1 și 0\ 0 și 1 \end{bmatrix} $. $C= \begin{bmatrix} 1 și 1\ 1 și 1\end{bmatrix}$ (această matrice a fost specificată în lucrare pentru a obține cvasigrupuri pătratice de ordinul 4). Acum dorim să generăm un pătrat latin pentru cvasigrup $Q$ având elemente, $\{0, 1, 2, 3\}$.
Folosind ecuația și reprezentările booleene ale elementelor, $(0 \equiv 00, 1 \equiv 01, 2 \equiv 10, 3 \equiv 11)$ efectuam urmatoarele operatii:
$0 \ast 0 = (0, 0) \ast (0, 0) = \begin{bmatrix} 0 \ 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 & 1\ 1 & 0 \end{bmatrix } \begin{bmatrix} 0\ 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 și 0\ 0 și 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0\ 0 \end{bmatrix} + \ begin{bmatrix} 1 și 1\ 1 și 1\end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 și 1\ 1 și 0 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 0\ 0 \end{bmatrix } \circ \begin{bmatrix} 1 și 1\ 1 și 1\end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 și 0\ 0 și 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 0\ 0 \end{bmatrix} = [0 \; 0]^T$
$0 \ast 1 = (0, 0) \ast (0, 1) = \begin{bmatrix} 0 \ 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 & 1\ 1 & 0 \end{bmatrix } \begin{bmatrix} 0\ 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 și 0\ 0 și 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0\ 1 \end{bmatrix} + \ begin{bmatrix} 1 și 1\ 1 și 1\end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 și 1\ 1 și 0 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 0\ 0 \end{bmatrix } \circ \begin{bmatrix} 1 și 1\ 1 și 1\end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 și 0\ 0 și 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 0\ 1 \end{bmatrix} = [0\; 1]^T$
În mod similar, $0 \ast 2 = [1 \;0]^T și, 0 \ast 3 = [1 \;1]^T.$
Următorul,
$1 \ast 0 = [1 \; 0]^T$;
$1 \ast 1 = [1 \; 1]^T$;
$1 \ast 2 = [1 \; 1]^T$
Știm că niciun element nu poate fi repetat într-un rând sau o coloană a unui pătrat latin. Dar în exemplul de mai sus, rândul corespunzător elementului 1 va avea elemente repetate deoarece, $1 \ast 1 = 1 \ast 2$.
Ar putea exista astfel o oarecare ambiguitate în interpretarea mea sau în implementarea operațiilor matriceale?
Vă rog să mă ajutați să îmi identific greșeala aici. De asemenea, este apreciată orice interpretare alternativă a operațiunilor.
P.S. Am pus aceeași întrebare în Mathematics Stack Exchange, dar nu am primit niciun răspuns, așa că repostez asta în speranța că comunitatea criptografică ar putea să-mi arate o cale.
