Secretul perfect pentru Shift Cipher

Am citit definiția lui secretul perfect după cum urmează:

Un criptosistem are secret perfect dacă $\Pr(x | y) = \Pr(x)$, pentru toți $x \în P$ și $y \în C$, Unde $P,C$ sunt, respectiv, setul de texte clare și texte cifrate.

Acum să presupunem că există 26 de chei în Shift Cipher (SC) cu probabilitate 1/26. Apoi, pentru orice text simplu cu distribuție de probabilitate, SC are secret perfect.

Dovada începe cu:

$$\Pr(y) = \sum_{k \in \mathbb{Z}_{26}} \Pr(k)\Pr\left(x = d_k(y)\right)$$

Nu am înțeles această parte (distr. probabilității pe $C$), și modul în care este calculat.

obs.: regula de criptare pentru shift cipher este $e_k(x) = (x+k) \text{ mod 26} (x \in \mathbb{Z_{26}})$.

De asemenea, rețineți că $K$ este setul de chei.

Vom demonstra asta $\Pr[x |y] = \Pr[x]$, observați mai întâi că, din moment ce, pentru fiecare element al $P$, avem întotdeauna un element de $C$, sub o cheie, $\Pr\left(x = d_k(y)\right) = 1$, asa de:

$$\Pr(y) = \sum_{k \in \mathbb{Z}_{26}} \Pr(k)\Pr\left(x = d_k(y)\right) = \sum_{k \in \mathbb{Z}_{26}} \Pr(k) $$

Acum, suma reprezintă uniunea tuturor asocierilor unei chei și a unei decriptări.

Dar de atunci $e_k(x) = (x+ K) = y \mod 26$, tragem concluzia că $\Pr\left(x = d_k(y)\right) = \Pr (y-K) = 1$. Este clar că $\Pr(k) = 1/26$, asa de $\Pr(y) = 1/26$.

Acum, $\Pr[y|x] = \Pr[K] = 1/26$, pentru că dat $x$, $y$ este unic (determinat unic prin intermediul $K$). Acum de Teorema lui Bayes noi stim:

$$\Pr[x|y] = \frac{\Pr[x]\Pr[y|x]}{\Pr[y]} = \frac{\Pr[x]\cdot 1/26}{1 /26} = \Pr[x]$$

iar aceasta concluzionează faptul că Shift Cipher aduce Secretul perfect.