Cum se demonstrează că matricea $m \times m$ este inversabilă este echivalentă cu $LI$ peste $\mathbb{Z_{2}}$?

Am venit cu o problemă care spune că a $m \ori m$ matricea este inversabilă este același lucru cu a spune că rândurile sale sunt LI (liniar independent) peste $\mathbb{Z_{2}}$.

În primul rând, aș dori să știu cum să demonstrez, pentru a demonstra următoarele:

Presupunând $$z_{m+i} = \sum_{j = 0}^{m-1} c_jz_{i+j} \text{ mod 2}$$

Unde $(z_1, z_2, ..., z_m)$ cuprinde vectorul de inițializare. Pentru $i \geq 1$, definim:

$$v_i = (z_i, ..., z_{i+m-1})$$, observând că $v_1,... ,v_m$ sunt rândurile de $m \ori m$ matrice.

Se cere să se dovedească cu aceste informații de mai sus:

Pentru orice $i \geq 1$, $$v_{m+1} = \sum_{j = 0}^{m-1} c_jv_{i+j} \text{ mod 2}$$

am calculat $v_1 = (0, c_0z_1, ..., ), v_2 = (0, c_0z_2, c_0z_2 +c_1z_3, ...)$, cu toate acestea, nu văd o modalitate de a ști cum să dovedesc asta pentru $\alpha_i \in \mathbb{R^*}$ acea:

$$\alpha_1 v_1 + \alpha_2 v_2 + \alpha_3 v_3 + ... + \alpha_m v_m = 0$$