Problema este că atunci când reducem ecuația curbei $y^2=x^3+7$ modulo 7, obținem ecuația $y^2=x^3$ care nu este socotită ca o curbă eliptică. Termenul tehnic pentru aceasta este curba rațională $y^2=x^3+7$ are „reducere proastă” la primul 7.
Motivul pentru care curbele formei $y^2=x^3$ nu sunt curbe eliptice este pentru că nu sunt „netede”. Asta înseamnă că au o specialitate punct singular care nu se comporta bine. Aproximativ vorbind, acest lucru înseamnă că liniile tangente în acel punct nu sunt bine definite (ceea ce în special înseamnă că regula de dublare a curbei nu are sens în acel punct). În acest caz, punctul singular este $(0,0)$ care este un vârf. Reducerea (proasta) la acest tip de curbă se numește reducere aditivă, deoarece există o lege de grup asupra punctelor non-singulare, dar este aceeași cu grupul aditiv al câmpului finit. În acest caz, grupul este la fel ca adiția modulo 7. Izomorfismul dintre grupuri este ușor: an $t\neq 0$ întregul mod 7 merge la obiect $(t^{-2},t^{-3})\mod 7$ iar 0 merge la punctul de la infinit. De asemenea, harta inversă trimite punctul $(x,y)$ la numărul întreg $x/y\mod 7$.
Pentru o relatare relativ blândă a legii grupului privind cubicile singulare (nenetede), aș recomanda capitolul 9 din „Povești eliptice” de Ash și Gross, care este foarte ușor pentru cititor cu puține cunoștințe în geometria algebrică.
