Involuțiile sunt în corespondență unu-la-unu cu permutările auto-conjugate (adică, permutările care sunt propria lor permutare inversă)
Seria este dată în oeis A000085.
The formulă pentru numărul de permutări de involuție pe $n$ literele este;
$$I(n) = 1 + \sum_{k=0}^{\lfloor (n-1)/2 \rfloor} \frac{1}{(k+1)!} \prod_{i=0} ^k \binom{n-2i}{2}$$
Un mic calcul manual
În primul rând, permutarea identității $\varepsilon$ este întotdeauna o involuție. Aici vom folosi notație cu o linie.
$m =2 $ atunci $\varepsilon = (1,2)$ și $(2,1)$ sunt involuțiile.
$m =3 $ atunci $\varepsilon = (1,2,3)$, $(1,3,2)$,$(3,2,1)$, și $(2,1,3)$ sunt cele 4 posibile.
$m =4 $ atunci $\varepsilon = (1,2,3,4)$ și
- repara mai intai $(1,a,b,c)$ atunci avem 3, după caz anterior; $(1,2,4,3),(1,4,3,2),(1,3,2,4)$
- fix al doilea $(a,2,c,d)$ atunci avem 2, $(3,2,1,4),(4,2,3,1)$ (una a existat in cazul anterior)
- repara a treia $(a,b,3,d)$ atunci avem 1, $(2,1,3,4)$
- fixează al patrulea $(a,b,c,4)$ atunci avem 0; toate au existat înainte.
- fix dublu atunci $(4,2,3,1)$
- se dublează $(3, 4, 1, 2),(2,1,4,3)$
Un cod Sagemath pentru 5
p = Permutare([1, 2,3,4,5])
pentru i în intervalul(0,factorial(5)):
dacă p == p.inverse():
print(p)
p = p.next()
Cu iesire
[1, 2, 3, 4, 5]
[1, 2, 3, 5, 4]
[1, 2, 4, 3, 5]
[1, 2, 5, 4, 3]
[1, 3, 2, 4, 5]
[1, 3, 2, 5, 4]
[1, 4, 3, 2, 5]
[1, 4, 5, 2, 3]
[1, 5, 3, 4, 2]
[1, 5, 4, 3, 2]
[2, 1, 3, 4, 5]
[2, 1, 3, 5, 4]
[2, 1, 4, 3, 5]
[2, 1, 5, 4, 3]
[3, 2, 1, 4, 5]
[3, 2, 1, 5, 4]
[3, 4, 1, 2, 5]
[3, 5, 1, 4, 2]
[4, 2, 3, 1, 5]
[4, 2, 5, 1, 3]
[4, 3, 2, 1, 5]
[4, 5, 3, 1, 2]
[5, 2, 3, 4, 1]
[5, 2, 4, 3, 1]
[5, 3, 2, 4, 1]
[5, 4, 3, 2, 1]
