(Bănuiesc că nu, dar de ce este acesta cazul? Vreo modalitate de a face acest lucru posibil?)
Dintr-un triunghi echilateral dat T1 (cu cele 3 vârfuri ale sale A,B,C situate într-un câmp finit $\mathbb F_N^D $) un alt triunghi echilateral T2 poate fi construit prin oglindirea unuia dintre cele 3 vârfuri de la marginea dintre celelalte două vârfuri. Acest lucru se va repeta de mai multe ori.
Având doar două triunghi aleatoriu T1 și T2 (și $\mathbb F_N^D $) poate un adversar să calculeze cea mai scurtă cale de la T1 la T2?
(Presupunând că există o cale și modulo $N$ si dimensiuni $D$ sunt alese suficient de sus încât testarea întregului triunghi ar dura prea mult)
Sau o poate face (mult) mai repede decât să o aplice pas cu pas?
(cum ar fi, de exemplu, la EC un generator $g$ nu trebuie aplicat $m$ ori dacă vrem să calculăm $g^m$. Caut o tehnică mai mult decât unidimensională care nu poate fi redusă la o problemă cu o singură dimensiune și trebuie calculată pas cu pas. „Lungimea” „cea mai scurtă cale” ar fi numărul de calcule (triunghi) necesare)
Pentru a oglindi punctul A la muchia BC căutăm un punct $S$ și variabilă $r$ cu
$$S = B + r (C-B)$$
Lăsa $v$ direcția muchiei BC:
$$v = \vec{v} = C-B$$
Acest $S$ ne-ar permite să calculăm direcția de la $A$ la $BC$ și cu aceasta se calculează punctul în oglindă $A_M$
$$A_M = A + 2(S-A)$$
Pentru a face acest lucru $S-A$ trebuie să fie ortogonală $v$. Deci produsul scalar trebuie să fie 0:
$$(S-A)' v = 0$$
$$(B+rv-A)' v = 0$$
$$(B-A)' v = -rv'v$$
$$r = \frac{(B-A)'v}{-(v'v)}$$
(deci la fel ca în spațiul euclidian, cu excepția câmpului finit $r$ trebuie să se calculeze cu inversul $(-(v'v))^{-1}$ peste $N$)
Edit: fgrieu a subliniat că există, de asemenea, o modalitate mult mai ușoară de a calcula reflexia unui triunghi echilateral:
$$A_M = A' = B+C-A$$
(editează sfârșitul)
Am facut niste teste pentru 2 dimensiuni si numere prime $N$.
Câmpul finit $\mathbb F_N^2 $ poate produce un triunghi echilateral numai dacă $N$ are rădăcină pentru $3$.
Un triunghi echilateral cu o anumită lungime a muchiei este capabil să producă $2 N^2$ alte triunghiuri (fiecare are aceeași lungime de margine).
Fiecare lungime de margine are două astfel de seturi. In total $2(N-1) (2N^2)$ care sunt disjunse între ele.
(Tocmai am calculat lungimea marginii pătrate între două puncte ca în spațiul euclidian)
În spațiul euclidian oglindind un triunghi în jurul punctului ($C$) ar arăta astfel:
Prima oglindă $A$ la $CB$. Apoi oglinda $B$ la $CA_M$ și așa mai departe. Dacă este un triunghi echilateral, se va potrivi din nou după ce ați făcut acest lucru de 6 ori.
Într-un câmp finit $\mathbb F_{11}^2 $ poate arata asa:
De asemenea, se potrivește după ce a făcut acest lucru de 6 ori (aproximativ 1 punct).
Făcând-o într-o singură direcție, se va potrivi după 2 N$
Există un algoritm de criptare similar cu acesta?
De ce acest lucru nu este sigur? Sau este? Mai multe dimensiuni ar ajuta?
Aveți idei pentru a o face mai sigură?
