Două puncte de curbă eliptică având aceeași coordonată X

Să presupunem că într-o curbă eliptică (să spunem că ecuația curbei este: $y^2 = x^3 -17$) cu ordinul prim $q$, avem $(x,y_1) = nP$, Unde $P$ este un generator și $n<\lceil{q/2}\rceil$. Putem pretinde că nu există $n' < \lceil{q/2}\rceil$, astfel încât $(x,y_2)=n'P$ este un punct de curbă valid unde $y_2 \neq y_1$?

Putem pretinde că dacă $n < \lceil{q/2}\rceil$, atunci nu există $y_2 \neq y_1$ astfel încât $(x,y_2)$ este un punct de curbă valid?

Nu, o astfel de afirmație ar fi falsă. Dacă $(x, y_1)$ este un punct valid, adică dacă $y_1^2 = x^3 - 17$, atunci $(x, q-y_1)$ este de asemenea un punct valid. Prin urmare, dacă nu $y_1 = 0$, va exista întotdeauna un al doilea punct cu același $x$ coordona.

Dacă $P = (x,y)$ are ordine $q$, atunci $$(q-1)P = -P = (x,-y).$$ Când $q=2$ (echivalent, $y=0$), aceste două puncte coincid: $P=-P$.