Încerc să rezolv o problemă care sună după cum urmează:
Lăsa $E_1 = (\text{Gen}_1, \text{Enc}_1, \text{Dec}_1)$ fii un cripto
sistem care are secretul perfect. Indicați spațiul pentru mesaje $\mathbb
M_1$, spațiul cheie $\mathbb K_1$ și spațiul criptat $\mathbb C_1$ ($\mathbb M_1=\mathbb C_1 = \mathbb T, \mathbb K_1 = \mathbb K$).
Lăsa $E_2 = (\text{Gen}_2, \text{Enc}_2, \text{Dec}_2)$ să fie un sistem cripto cu același spațiu de mesaje, spațiu de text cifrat și spațiu de cheie ca și în $E_1$, cu singura schimbare care $\text{Enc}_2(k,m)=\text{Dec}_1(k,m)$. Face $E_2$ au și secretul perfect?
Ceea ce am incercat sa fac este urmatorul:
Prin definiția secretului perfect avem asta pentru orice distribuție $D_1$ peste $\mathbb M_1= \mathbb T$ si pentru orice $(m,c)\in \mathbb T \times \mathbb T$ cu $\Pr[C_1 = c | M_1 = m]= Pr[C_1 = c]$ Unde $Pr[M_1 = m] > 0$ ($M_1,C_1$ sunt variabile aleatorii).
Acum presupunem o distribuție $D_2$ peste $\mathbb M_2=\mathbb T$, și încercați să dovediți că acest criptosistem are secret perfect, astfel:
Lăsa $m\in \mathbb M_2 = \mathbb T$ astfel încât $Pr[M_2 = m] > 0$, si lasa $c\in \mathbb C_2 = \mathbb T$, atunci:
$Pr[C_2 = c| M_2 = m] = Pr[\text{Enc}_2(K,m)=c] = Pr[\text{Dec}_1(K,m)=c] = $
Aici existau două moduri de a merge mai departe. $K$ este o variabilă aleatoare care este distribuită printr-o distribuție peste $\mathbb K$ și asta trebuie să fie similar pentru ambele sisteme cripto, deoarece folosesc același lucru $\text{Gen.}$ algoritm. Asa de:
$Pr[\text{Dec}_1(K,m)=c] = \sum_{k:\text{Dec}_1(k,m)=c} Pr[K=k]$ dar nu știu cum arată algoritmul de decodare, așa că nu am idee despre care ar putea fi aceste probabilități.
O altă abordare a fost să presupunem (poate fals) că $Pr[\text{Dec}_1(K,m)=c] = Pr[M_1 = c | C_1 = m]$ si dat secretul perfect al $E_1$ care rezultă a fi egal cu $Pr[M_1 = c]$
Și $Pr[C_2 = c] = \sum_{m\in\mathbb M_2} Pr[M_2 = m]*Pr[C_2 = c | M_2 = m] = \sum_{m\in\mathbb M_2} Pr[M_2 = m]*Pr[M_1 = c] = Pr[M_1 = c]*\sum_{m\in\mathbb M_2} Pr[M_2 = m] = Pr[M_1 = c]*1 = Pr[M_1 = c]$
Și astfel sunt egali, așadar $E_2$ are un secret perfect.
Îngrijorarea mea este că presupunerea pe care am făcut-o înainte a fost falsă și că $Pr[C_1 = c] ar putea fi egal cu 0, caz în care și acest lucru este greșit.
Simt că îmi lipsește să înțeleg ce înseamnă cu adevărat secretul perfect și așa că am doar această definiție în mână cu care să lucrez.
Aveți idei dacă acest lucru este corect?
Mulțumesc anticipat.
