Un câmp finit $(\mathbb F,+,\cdot)$ este o mulțime finită $\mathbb F$ cu două legi interne $+$ și $\cdot$, astfel încât $(\mathbb F,+)$ este o comutativă grup cu notat neutru $0$, și $(\mathbb F-\{0\},\cdot)$ este un grup comutativ cu notat neutru $1$, iar înmulțirea este distributivă w.r.t. adaos adică $\pentru toate A,B,C\în\mathbb F$ tine $A\cdot(B+C)=(A\cdot B)+(A\cdot C)$.
Se poate demonstra că toate câmpurile finite cu același număr de elemente sunt izomorfă, adică putem mapa de la unul la altul prin a bijectie $\mathcal F$ astfel încât $\mathcal F(A+B)=\mathcal F(A)+\mathcal F(B)$ și $\mathcal F(A\cdot B)=\mathcal F(A)\cdot \mathcal F(B)$. Putem vorbi astfel despre cel câmp finit $\mathbb F$ cu $q$ elemente. Se notează adesea $\mathbb F_q$.
Se poate demonstra că orice câmp finit are un număr $q$ a elementelor formei $q=p^k$ pentru unele prime $p$ si ceva $k\in\mathbb N^*$.
Când $k=1$, campul $(\mathbb F_p,+,\cdot)$ este pur și simplu inelul de numere întregi modulo $p$, acesta este $(\mathbb Z_p,+,\cdot)$.
Pentru arbitrar $k\in\mathbb N^*$, ne putem gândi la domeniu $(\mathbb F_{p^k},+,\cdot)$ ca mulţime de polinoame de grad până la $k-1$ și coeficienți în $\mathbb Z_p$. Adică polinoame pentru o variabilă abstractă $x$ cu un coeficient în $\mathbb Z_p$ pentru fiecare dintre $k$ termeni $x^i$ cu $i\în\{0,1\ldots,k-1\}$. Adăugarea în $\mathbb F_{p^k}$ este suma de polinoame. Înmulțirea în $\mathbb F_{p^k}$ este multiplicarea polinoamelor urmată de reducerea modulo unui anumit polinom de reducere $R(x)$ de grad exact $k$, și ireductibil.
În mod echivalent, ne putem gândi $\mathbb F_{p^k}$ ca setul de $p^k$ tupluri de $k$ elemente de $\mathbb Z_p$, remarcat $(a_0,a_1\ldots,a_{k-1})$. Adăugarea este definită de$$(a_0,a_1\ldots,a_{k-1})+(b_0,b_1\ldots,b_{k-1})=(a_0+b_0,a_1+b_1\ldots,a_{k-1}+ b_{k-1})$$cu completările ulterioare aduse $\mathbb Z_p$, adică cu modulo de reducere $p$. Dacă tuplu $A$ are $a_i=1$ și toți ceilalți termeni $0$, și tuplu $B$ are $b_j=1$ și toți ceilalți termeni $0$, apoi când $i+j<k$ tuplu $C$ pentru $A\cdot B$ are $c_{i+j}=1$ și toți ceilalți termeni $0$. Când $i+j=k$, tuplu $C$ pentru $A\cdot B$ este un tuplu constant $(r_0,r_1,\ldots,r_{k-1})$ independent de $i$ și $j=k-i$. Acest tuplu este astfel încât polinomul $R(x)=x^k-r_{k-1}\,x^{k-1}\ldots-r_1\,x-r_0$ cu coeficienți în $\mathbb Z_p$ este ireductibil, implicând $r_0\ne0$. Acest tuplu constant $(r_0,r_1\ldots,r_{k-1})$, sau echivalent polinomul $R(x)$, combinat cu regulile și proprietățile menționate anterior ale $+$ și $\cdot$, definește pe deplin înmulțirea și este neutru $(1,0\ldots,0)$.
Putem calcula tuplu $(c_0,c_1\ldots,c_{k-1})$ pentru $(a_0,a_1\ldots,a_{k-1})\cdot(b_0,b_1\ldots,b_{k-1})$ după cum urmează:
$(c_0,c_1\ldots,c_{k-1}):=(0,0\ldots,0)$
pentru $i$ din $k-1$ până la $0$
- $m:=c_{k-1}$
- pentru $j$ din $k-1$ până la $1$
- $c_j:=m\cdot r_j+a_i\cdot b_j+c_{j-1}$
- $c_0:=m\cdot r_0+a_i\cdot b_0$
cu calculele din ultimele două linii efectuate $\mathbb Z_p$, adică modulo $p$.
