Setarea descrisă în lucrarea respectivă este o instanță a așa-numitei „împerecheri de tip II” cu un izomorfism eficient $G_2\la G_1$. Cele mai eficiente construcții de împerechere sunt âTipul IIIâ, unde se crede că un astfel de izomorfism nu există. Deci, dacă luați o implementare normală a grupului biliniar BLS12, aceasta nu va funcționa: ignorând răsucirile, puteți, într-adevăr, să calculați harta de urmărire așa cum sa menționat, dar $G_2$ subgrupul este ales în mod special pentru a mapa la zero, deci nu va fi un izomorfism.
Pentru a fi puțin mai precis, construcția perechilor biliniare arată așa. Începem cu o curbă eliptică $E/\mathbb{F}_q$ astfel încât $p$-subgrupul de torsiune $E[p](\mathbb{F}_q)$ (diviziunea punctelor de ordine $p$ cu coordonatele în $\mathbb{F}_q$) este ciclic de ordin $p$, și astfel încât, în plus, peste o mică extindere a gradului $\mathbb{F}_{q^d}$, $E$ are plin $p$-torsiunea (adică $E[p](\mathbb{F}_{q^d})$ este izomorfă la $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^2$: Sunt $p^2$ puncte cu coordonate în $\mathbb{F}_{q^d}$ și împărțirea ordinului $p$). Apoi putem alege $E[p](\mathbb{F}_{q^d})$ la fel de $G_1$, și oricare dintre celelalte $p$ subgrupe de ordine $p$ de $E[p](\mathbb{F}_{q^d})$ la fel de $G_2$.
Acum, așa cum este descris în lucrare, harta urmelor este un homomorfism al $E[p](\mathbb{F}_{q^d})$ pe $G_1$, deci alegerea obișnuită a $G_2$ este să luăm nucleul acestei hărți. Acest lucru permite tot felul de optimizări ale construcției, face posibilă hash-ul $G_2$ și așa mai departe și așa mai departe, dar este tocmai incompatibil cu setarea cerută în lucrarea respectivă. Ce ai face pentru acea hârtie este să alegi una dintre cele rămase $p-1$ alegeri pentru $G_2$ (sau mai probabil: modificați construcția pentru a evita setarea de tip II mai puțin eficientă; există instrumente de conversie automată care preiau o primitivă definită într-o setare și construiesc formal o primitivă corespunzătoare într-o altă setare, așa că acest lucru ar trebui să fie posibil aici, deși argumentul de securitate ar putea fi necesar să fie adaptat în mod normal).
