Cum se demonstrează inegalitățile determinantului rețelei q-ary?

pentru $A\in{Z_q^{n*m}}$ și $A^{'}\in{Z_q^{m*n}}$,avem

• $det{({\land}_q^{\bot}(A))}{\le}q^n$ și $det{({\land}_q(A^{'}))}{\ge}q^{m-n}$
• dacă q este prim, iar A, A' nu sunt singulare în câmpul finit $Z_q$, inegalitatea de mai sus sunt egalități.

Unde ${\land}_q^{\bot}(A) = \{x{\in}Z^m|Ax=0{\bmod}q\}$ și ${\land}_q(A)=\{y{\in}Z^m|y=As{\bmod}q\}$

Conținutul de mai sus provine din nota de prelegere a lui D. Dadush (lema 4) prelegerea_9.Nu știu cum să demonstrez lema de mai sus, deoarece dovada din nota de curs este prea scurtă pentru mine. Aș aprecia dacă cineva ar putea oferi o dovadă mai detaliatăâ

Mă inspir din ppt-ul lui vadim. Dar demonstrez doar jumătate din teoremă.

Dovada: ${\deoarece}{\land_q^{\bot}}(A)$ este o rețea întreagă, ${\prin urmare} {det({\land_q^{\bot}}(A))}=|{Z^m}/{\land_q^{\bot}}(A)|$. haideți să definim o mapare ${f}:{Z^m}{\to}{Z_q^{n}}$,${f:Ax{\bmod}q}$.Este ușor să verifici asta $f$ este homomorfă.Conform teoremei de bază a homomorfismuluiï¼$|{Z^m}/kerf|=|{Z^m}/{\land_q^{\bot}}(A)|=|im({Z^m})|$.Pentru că $im({Z^m}){\subseteq}{Z_q^{n}}$,asa de ${det({\land_q^{\bot}}(A))}=|{Z^m}/{\land_q^{\bot}}(A)|{\leq}q^n$. Dacă q este prim și A nu este singular, atunci $f$ este homomorfism complet deoarece fiecare imagine din ${Z_q^{n}}$ puteți găsi imaginea originală în ${Z^m}$.Asa de $im({Z^m})={Z_q^{m}}$ și ${det({\land_q^{\bot}}(A))}=|{Z^m}/{\land_q^{\bot}}(A)|=q^n$.

Cu toate acestea, nu am găsit o modalitate de a demonstra cealaltă jumătate a teoremei. Aș fi recunoscător dacă cineva ar putea să dea restul dovezilor.