Declarația „ne așteptăm să producem $2^{64.3}$ numere înainte de a începe să repetăm" este adevărată numai dacă credem că pătratul mijlociu pe 128 de biți se comportă ca o mapare aleatorie pe $\{0,1\}^{128}$. Cu toate acestea, putem arăta că are proprietăți care sunt foarte puțin probabile pentru o mapare aleatorie.
Amintiți-vă că Middle Square de 128 de biți menține o stare de 128 de biți $S_t$. Actualizările se fac efectiv prin pătrat $S_t$, și luând biții 64-191 ca noi $S_{t+1}$ adică
$$S_{t+1}=(S_t^2>>64)\%2^{128}.$$
Statul $S_t=0$ reprezintă un punct fix. Deși mapările aleatoare au puncte fixe cu probabilitate aproximativ $(1-1/e)$, aceasta este una neobișnuită, deoarece are un număr mare de preimagini. Orice număr $S<2^{32}$ se va mapa la 0 la fel ca orice număr $S$ divizibil cu $2^{96}$. Numai aceste preimagini (pot fi altele) total $2^{33}$ când pentru o hartă mare aleatorie ne așteptăm ca numărul de preimagini să fie distribuit Poisson(1). Mai mult, dacă ne gândim la predecesori, orice număr $S<2^{64}$ se va mapa la un număr mai mic și un număr mai mic decât $2^{63}$ va ajunge la 0 în mai puțin de 6 pași. La fel pentru numerele divizibile cu $2^{65}$. Asta dă cel puțin $2^{64}$ predecesorul afirmă pentru 0 când s-ar aștepta o hartă aleatorie $2^{64}\sqrt{\pi/8}$ (cu timpul de coalescență aproximativ același). Numărul de stări predecesoare crește și mai mult atunci când luăm în considerare posibilii predecesori ai garanției noastre $2^{64}$ statele predecesoare, dacă acestea au fiecare $2^{64}\sqrt{\pi/8}$ predecesori am putea vedea o proporție pozitivă a spațiului nostru degenerând la starea 0.
Există, de asemenea, un subspațiu păstrat al numărului exact divizibil cu $2^{64}$ (acest spatiu este de dimensiuni $2^{63}$) pe care ne-am putea aștepta să prezinte statistici de cartografiere aleatoare pentru spațiul mai mic (de ex.o lungime de ciclu de $2^{31,5}\sqrt{\pi/8}$). Apoi luăm în considerare predecesorii acestui subspațiu și producem așteptări semnificativ diferite de o mapare aleatorie completă.
Toate în toate aceste structuri sunt foarte atipice pentru o mapare aleatorie și ar trebui să concluzionăm că maparea aleatoare nu este un model bun în acest caz.
