Rețineți că pentru o zăbrele $L\subseteq\mathbb{R}^n$, $\det(L)$ este volumul lui a domeniul fundamental.
Există adesea multe dintre aceste obiecte, dar există două care sunt de obicei de interes principal:
- Celula Voronoi $\mathcal{V}(L) = \{x\in\mathbb{R}^n\mid \forall \ell\in L\setminus\{0\}, \lVert x\rVert_2\leq \lVert x- \ell\rVert_2\}$, de exemplu. este punctele în $\mathbb{R}^n$ care sunt mai aproape de 0 decât orice alt punct al rețelei.
- Paralelpipedul fundamental --- pentru o bază $\mathbf{B}$ al zăbrelei, acesta este setul $\mathbf{B}[0,1)^n$ (sau uneori $\mathbf{B}[-1/2,1/2)^n$.
Până la unele probleme de la graniță, un domeniu fundamental „spațiu plăci”, adică suma
$$L + D = \mathbb{R}^n$$
este o compartimentare. Dacă presupunem că rețeaua este $q$-ary, putem reduce totul mod $q$ pentru a obține asta $(L\bmod q) + (D\bmod q) = \mathbb{R}/q\mathbb{R}^n$ este și o partiție [1].
Luând volume, înțelegem asta
$$|L\bmod q||D\bmod q| = q^n\implica |L\bmod q| = \frac{q^n}{|D|} = \frac{q^n}{\det L}.$$
Ceea ce doriți, decurge din folosirea căreia este $m$-dimensională, și are $|L\bmod q| = q^{m-n}$ puncte, deci determinantul trebuie să fie $q^n$.
[1] Pot exista unele probleme cu domenii fundamentale deosebit de neregulate $D$ aici (în special domeniile fundamentale care nu sunt cuprinse în $[-q/2, q/2)^n$, dar dacă lași $D$ fie celula Voronoi, totul pare în regulă și nici măcar nu sunt sigur dacă această îngrijorare pe care o menționez este dintr-un motiv anume.
