înregistrare Logare
Puncte:7
honzaik avatar Crypto

CSIDH - l generatoare ideale

drapel cn
honzaik

Încerc să studiez algoritmul CSIDH. Am un fundal de începător în curbe eliptice și am urmărit prelegerile lui Andrew Sutherland (https://math.mit.edu/classes/18.783/2019/lectures.html) pentru a înțelege inelele de endomorfism și acțiunea grupului de clasă și modul în care putem aplica teoria asupra curbelor complexe la curbele peste un câmp finit. Experiența mea în teoria numerelor nu este atât de bună, așa că aceasta poate fi doar o problemă simplă.

În CSIDH (pagina 13) se menţionează că noi idealul principal $(l)\mathcal{O}$ (Unde $\mathcal{O}$ este o ordine într-un câmp pătratic imaginar) se împarte în două idealuri $\mathbb{l}$ și $\mathbb{\overline{l}}$ ca în $(l)\mathcal{O}= \mathbb{l}\mathbb{\overline{l}}$ unde de asemenea $\mathbb{l}, \mathbb{\overline{l}}$ sunt generate de $(l, \pi \pm 1)$.

Folosind înmulțirea ideală obțin $$ \mathbb{l}\mathbb{\overline{l}} =(l, \pi + 1)(l, \pi -1) = (l^2, l(\pi -1), l(\pi + 1), \pi^2-1) $$ adică un element $\alpha \in \mathbb{l}\mathbb{\overline{l}}$ ar trebui să aibă forma $$ \alpha = al^2+bl(\pi-1)+cl(\pi+1)+d(\pi^2-1), \{a,b,c,d\} \subseteq \mathcal{O } $$ Cum obțin asta $\alpha = xl$ pentru unii $x \in \mathcal{O}$? Este doar o simplă simplificare și utilizarea ipotezei că $\pi^2= 1 \mod l$ (adică ecuația caracteristică) cumva sau există un motiv mai complicat?

Cealaltă întrebare a mea este de unde obținem asta $\mathbb{l}$, $\mathbb{\overline{l}}$ sunt generate de acele elemente?

Multumesc anticipat. Ar ajuta, de asemenea, să indicați câteva resurse bune. Am căutat prin lucrările citate, dar este greu să găsesc sursa potrivită.

95
1 + 2
Sam Jaques avatar
drapel us
Sam Jaques
Voi adăuga o întrebare următoare: câmpul pătratic imaginar este izomorf la $\mathbb{Q}[\sqrt{-p}]$; care este idealul în $\mathcal{O}_{\mathbb{Q}[\sqrt{-p}]}$ la care $\pi$ (endomorfismul Frobenius) este izomorf?
0
Răspunde
drapel ne
Luca De Feo
@SamJaques În întrebare, $Ï$ este o rădăcină pătrată a lui $-p$, nu endomorfismul Frobenius. Prin multiplicare complexă, Frobenius este identificat cu una dintre cele două rădăcini pătrate ale lui $-p$. Idealul asociat este pur și simplu idealul principal $Ï\mathcal{O}$.
0
Răspunde
Puncte:4
avatar Crypto
drapel ne
Luca De Feo

Pentru a răspunde la prima ta întrebare: este la fel de simplu. Repetând ceea ce ai scris, este suficient să verifici asta $l$ împarte toate cele patru generatoare: $l^2$, $l(Ï-1)$, $l(Ï+1)$ și $Ï^2-1$. Este evident pentru primii trei, iar pentru ultimul doar amintiți-vă asta prin definiție $Ï^2 = -p$, iar CSIDH forțează în mod explicit $l|(p+1)$. Aceasta demonstrează că $(l) â (l,Ï-1)(l,Ï+1)$. Pentru a dovedi cealaltă includere, vezi mai jos.

A doua întrebare a ta este, în esență, să demonstrezi asta $l,\bar{l}$ sunt idealuri primordiale. O modalitate ușoară de a face acest lucru este să le calculăm normele. Norma de $(l,Ï-1)$ este mcd-ul normelor elementelor sale. Norma de $l$ este $l^2$, iar norma de $Ï-1$ este $(Ï-1)(-Ï-1) = p+1$ (înmulțire cu conjugat). Prin constructie $\gcd(l^2,p+1)=l$, asa de $(l,Ï-1)$ are norma $l$. Dar $l$ este prim, deci $(l,Ï-1)$ trebuie să fie un ideal primordial.

În concluzie, știai deja asta $l\bar{l}â(l)$, dar acum știi și că normele pe LHS și RHS sunt aceleași, deci neapărat $l\bar{l}=(l)$, până la unități.

0 + 1
honzaik avatar
drapel cn
honzaik
mulțumesc mult. Singurul lucru despre care nu sunt sigur este de unde provine „norma este gcd-ul normelor elementelor sale”. Am căutat puțin și am găsit doar o teoremă conform căreia norma unui ideal în $\mathcal{O_K}$ este mcd-ul normelor tuturor elementelor (nu doar generatoarelor).este doar din cauza unui caz special din cauza comenzii sau se aplică pentru orice comandă? O altă modalitate ar putea fi să folosiți $(l)|(l,\pi -1)(l,\pi +1) \implies N((l))|N((l,\pi -1))N(( l,\pi +1))$ și din moment ce $N((l))=l^2$ atunci fie ambele sunt de norma $l$, fie una dintre ele este de norma $1$ ceea ce ar fi o contradicție, nu?
0
Răspunde
drapel ne
Luca De Feo
Că norma unui ideal este mcd-ul normei elementelor sale este una dintre posibilele definiții ale normei unui ideal. Motivul pentru care tocmai am luat gcd-ul normelor generatoarelor în calculul meu este că $n | N(a)$ și $n | N(b)$ implică $n | N(a+b)$. Astfel, este suficient să găsiți factorii comuni ai generatoarelor pentru a cunoaște factorii comuni ai tuturor elementelor.
1
Răspunde
drapel ne
Luca De Feo
Dar și argumentul tău funcționează, observând că idealurile conjugate au aceeași normă.
1
Răspunde
drapel romania
SEF 777
întrebarea această in alte limbi:

Postează un răspuns

Majoritatea oamenilor nu înțeleg că a pune multe întrebări deblochează învățarea și îmbunătățește legătura interpersonală. În studiile lui Alison, de exemplu, deși oamenii își puteau aminti cu exactitate câte întrebări au fost puse în conversațiile lor, ei nu au intuit legătura dintre întrebări și apreciere. În patru studii, în care participanții au fost implicați în conversații ei înșiși sau au citit transcrieri ale conversațiilor altora, oamenii au avut tendința să nu realizeze că întrebarea ar influența – sau ar fi influențat – nivelul de prietenie dintre conversatori.