Hărți criptografice invariante

În [BGK+18] în secțiunea 4, Boneh și colab. scrie ca:

Pentru orice alegere de cursuri ideale $\mathfrak{a}_1,\dots,\mathfrak{a}_n,\mathfrak{a}_1',\dots,\mathfrak{a}_n'$ în ${Cl}(\mathcal{O})$, soiurile abeliene \begin{align} (\mathfrak{a}_1 \star E) \times \dots \times (\mathfrak{a}_n \star E) \text{ și } (\mathfrak{a}_1' \star E) \times \dots \times (\mathfrak{a}_n' \star E) \end{align} sunt izomorfe peste $\mathbb{F}_q$ dacă $\mathfrak{a}_1 \cdots \mathfrak{a}_n = \mathfrak{a}_1' \cdots \mathfrak{a}_n' $ în ${Cl}(\mathcal{O})$. În special: \begin{align} (\mathfrak{a}_1 \star E) \times \dots \times (\mathfrak{a}_n \star E) \cong (\mathfrak{a}_1\cdots\mathfrak{a}_n) \star E \times E^{n-1} \end{align}

Nu există nicio dovadă în lucrare și nu am reușit să dovedesc asta. Îmi poate indica cineva o dovadă pentru aceste afirmații?