În hârtie [LPR12], am învățat că rețelele ideale sunt ideale în câmpurile numerice algebrice. Cu toate acestea, nu pot înțelege de ce definim rețeaua duală a unei rețele ideale cu $\operatorname{Tr}$:
$$
{L}^{\vee}=\{x \in K: \operatorname{Tr}(x {L}) \subseteq \mathbb{Z}\}
$$
În detaliu, vreau să spun, pentru orice câmp de numere algebrice $K$, există o încorporare care o încorporează în spațiu $H$. Pentru $K=\mathbb Q[\zeta]$, lăsa $f\in\mathbb Q$ fi polinomul minim al $\zeta$. Presupune $\zeta$ are $s_1$ rădăcini reale şi $s_2$ pereche de rădăcini complexe (și $n=s_1+2s_2$), atunci
$$
H=\left\{\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \in \mathbb{R}^{s_{1}} \times \mathbb{C}^{2 s_{ 2}}: x_{s_{1}+s_{2}+j}=\overline{x_{s_{1}+j}}, \forall j \in\left[s_{2}\right]\right \} \subseteq \mathbb{C}^{n}
$$
Înglobarea se face prin încorporarea canonică $\sigma$ Sf. pentru orice $\alpha\în K$, $\sigma(\alpha)=(\sigma_i(\alpha))_{i\in[n]}$. În plus, $H$ poate fi încorporat în continuare în $\mathbb R^n$ prin izomorfism $h$, prin încorporarea perechilor conjugate $(a+bi,a-bi)$ la $(\sqrt2a,-\sqrt2b)$. (Autorul a spus că aceasta este geometria rețelei ideale.) Până acum, se pare că totul merge bine.
Cu toate acestea, pentru $\alpha,\beta\în K$, care se mapează la $\sigma(\alpha)=v=(v_i)_{i\in[n]},\sigma(\beta)=w=(w_i)_{i\in[n]}$, produsul interior al $v$ și $w$ este definit ca
$$
\langle v,w\rangle=\sum_{i\in [n]} v_i\overline{w_i}
$$
care este egal $\langle h(v),h(w)\rangle$ în $\mathbb R^n$.
Cu toate acestea, definiția rețelei duale a unui rețea ideală $\operatorname{Tr}$ în loc de astfel de produs interior. Avem
$$
\operatorname{Tr}(\alpha\beta)=\sum_{i\in[n]}\sigma_i(\alpha)\sigma_i(\beta)=\sum_{i\in[n]}v_iw_i
$$
care pare diferit de produsul interior.
Pentru un exemplu tipic, aș dori să lucrez $K=\mathbb Q[i]$. Are două înglobări $\sigma_1(a+bi)=a+bi,\sigma_2(a+bi)=a-bi$ la $\mathbb C^2$, deci încorporarea canonică este
$$
\sigma(a+bi)=(a+bi,a-bi)
$$
Lucrul cu o rețea ideală $(1+2i)\mathbb Z+(-2+i)\mathbb Z$, și cartografierea bazei către $\mathbb R^2$ de $h\circ \sigma$, avem $L'=h\circ\sigma(L)=(\sqrt2,-2\sqrt2)\mathbb Z+(-2\sqrt2,-\sqrt2 )\mathbb Z$. Apoi tratăm $L'$ ca rețea comună și să calculeze rețeaua sa duală ca $(L')^\ast= (\frac{\sqrt 2}{10},-\frac{\sqrt2}5)\mathbb Z+(-\frac{\sqrt2}5,-\frac{\sqrt 2 }{10})$. Dacă calculăm rețeaua duală a $L$ de $\operatorname{Tr}$ definiție, rețeaua duală ar fi
$$
L^\vee=(\frac1{10}-\frac15i)\mathbb Z+(-\frac15-\frac1{10}i)\mathbb Z
$$
care poate fi încorporat în $\mathbb R^2$ la fel de
$$
(h\circ\sigma)(L^\vee)=(\frac{\sqrt2}{10},\frac{\sqrt 2}5)\mathbb Z+(-\frac{\sqrt 2}5,\frac {\sqrt 2}{10})\mathbb Z
$$
care este diferit de $(L')^\ast$, înlocuiește a doua intrare a vectorilor de bază cu numărul lor opus. De ce se întâmplă asta? Am făcut ceva greșit? Sau este o altă vedere geometrică a rețelei ideale care are sens?
