Pentru $2$, este ușor de observat că aceste variabile sunt independente deoarece fiecare variabilă elementară care apare într-una dintre expresii nu apare în cealaltă.
De exemplu
$\mathbb{P}(a_2b_0=0| a_1b_1=0, b_2(a_0 + a_2 +1)=0) = \mathbb{P}(a_4b_4=0)$.
O modalitate bună de a vedea acest lucru, cred că este să priviți entropia uneia dintre aceste variabile:
$H (a_2 b_0 |a_1 b_1, b_2(a_0 + a_2 +1) ) \geq
H (a_2 b_0 |a_0, a_1, b_1, b_2 ) = H (a_2 b_0 )$.
Ultima egalitate provine din independența variabilelor elementare.
Astfel putem deduce $H (a_2 b_0 |a_1 b_1, b_2(a_0 + a_2 +1) )= H (a_2 b_0 ) $.
Despre $1$, este mai complex pentru că $b_4, b_2, a_2, a_4$ apar în mai multe expresii.
Atunci trebuie să arăți asta $a_4, b_4, a_3, (b_0 + b_2), b_3, (a_0 + a_2), a_1 ,(b_2 + b_4), b_1, (a_2 + a_4)$ sunt liniar independente în $\mathbb{F}_2$ (făcând algebră liniară), astfel puteți deduce că aceste variabile (eventual plus o constantă) sunt independente (din punct de vedere probabilistic).
Și apoi trebuie să folosiți argumentul „dacă $X, Y, Z, T$ sunt independente, atunci $XY$ și $ZT$ sunt independenți.”
Editare: O modalitate bună de a vedea independența variabilelor liniare este de a calcula determinantul următoarei matrice (prima linie corespunde cu $a_4$, al doilea la $b_4$, al patrulea la $b_0 + b_2$, etc), puteți, de asemenea, demonstra aceste familii de vectori generate $\mathbb{F}^{10}_p$, și deducem prin cardinalitate, baza sa și astfel vectorii sunt independenți:
$\begin{matrice} 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \
0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \
1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \
0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\
0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{matrice}$
