Distribuția erorilor în LWE

$\textbf{LWE continuu}$ : $(\overrightarrow{a}, b)\in \mathbb{Z}_q^n\times \mathbb{T}$, Unde $\mathbb{T}=\mathbb{R}/\mathbb{Z}$, $b = \langle \overrightarrow{a},\overrightarrow{s}\rangle/q + e\mod 1$, unde eroarea $e$ este prelevat din $\Psi_\alpha(x) := \sum_{k=-\infty}^{\infty}\frac{1}{\alpha}\cdot exp(-\pi(\frac{x-k}{\alpha} )^2), x\in [0,1)$ peste tor $\mathbb{T}$. Funcția de densitate $\Psi_\alpha$ este doar funcția Guassiană $\rho_\alpha(x) = \frac{1}{\alpha}exp(-\pi x^2/\alpha^2) \mod 1$.

$\textbf{Discretizarea}: $ transforma proba continuă $(\overrightarrow{a},b)$ la $(\overrightarrow{a}, \lfloor qb\rceil) \in \mathbb{Z}_q^{n+1} $, cel $\lfloor qb\rceil = \langle \overrightarrow{a},\overrightarrow{s}\rangle + \lfloor qe \rceil \mod q$, prin urmare, eroarea în discretizare este distribuția $q\cdot\Psi_\alpha$ peste $\mathbb{Z}_q$.

$\textbf{Gaussianul rotunjit}:$ $\rho_\alpha(x) = \frac{1}{\alpha}exp(-\pi x^2/\alpha^2)$ care este distribuţia Gauss peste $\mathbb{R}$, îl transformăm în $\mathbb{Z}_q$ de $\lfloor \rho_\alpha \rceil \mod q$, ceea ce înseamnă că eșantionăm un real din $\rho_\alpha$, apoi rotunjiți-l la întreg și modulo $q$, atunci $\lfloor \rho_\alpha \rceil \mod q$ este, de asemenea, o distribuție peste $\mathbb{Z}_q$..

$\textbf{Întrebarea mea}:$

1. Sunt distribuția în discretizare $q\cdot \Psi_\alpha$ iar Gaussianul rotunjit $\lfloor \rho_\alpha \rceil \mod q$ peste $\mathbb{Z}_q$ la fel?

2. Dacă alegem $\lfloor \rho_\alpha \rceil \mod q$ sau $\lfloor q\cdot \Psi_\alpha\rceil $ ca distribuția erorilor în discretizarea LWE, este încă greu?

Cred că cele două distribuție s-au terminat $\mathbb{Z}_q$ sunt diferite. The $\lfloor q\cdot \Psi_\alpha\rceil $ este doar distribuția din [Regev05] care s-a dovedit greu. Atunci, ce zici de $\lfloor \rho_\alpha \rceil \mod q$ ?

Distribuțiile sunt aceleași. Adică rotunjirea și modificarea (prin orice număr întreg $q$) în esență navetă: $\lfloor \rho_a \rceil \bmod q = \lfloor \rho_a \bmod q \rceil$, unde în dreapta rotunjim $\mathbb{R}/q\mathbb{Z}$ la cel mai apropiat element al $\mathbb{Z}/q\mathbb{Z}$ (deci rezultatul rămâne modulo $q$). Aceasta rezultă pur și simplu din faptul că $\lfloor x \rceil +kq =\lfloor x +kq \rceil$ pentru orice număr întreg $k$. Deci, pentru orice $v \in \mathbb{Z}/q\mathbb{Z}$ probabilitatea sa este aceeași în cele două distribuții.