Cum să știți rezultatul exact în înmulțirea constantă mai ieftină Paillier

Funcția de criptare $E_{k^+}: Z_n \rightarrow Z_{n^2}$.
Funcția de decriptare $D_{k^-}: Z_{n^2} \rightarrow Z_n$.
$m_1 = 42, k = 15, n=77$.
După criptare, exponențiere și decriptare, primesc: $$D_{k^-}((E_{k^+}(m_1))^k) \equiv 14 \bmod 77$$ Clasa de reziduuri de $14$ este de forma: $$\langle 14 \rangle = \{\alpha \in Z: 14 + \alpha*77\}$$ Și una dintre aceste valori este 630 $ = 14 + 8*77 \equiv 630 \bmod 5929 \equiv 42*15 \bmod 77$
Deci, întrebarea este după ce decriptez și primesc $14$ cum pot eu, din această valoare, să deduc că valoarea reală a $\alpha$ eu caut este $8$, iar din asta deducem $630$, valoarea reală a produsului?
Pentru că, din câte știu eu, toate numerele posibile modulo $5929$ în $\langle 14 \rangle$ ar putea fi produse valabile daca nu stiu $m_1$ și $k$.

Încercați să spuneți că, dacă produsul este mai mare decât modulo, atunci oricum nu pot obține rezultatul adevărat?

Da. Pailler calculează modulo $n$ chiar dacă criptogramele sunt în $[0,n^2)$. Nu întâmplător, $42\times15\equiv14\pmod{77}$. Pentru ca Pailler să fie în siguranță, ai nevoie $n$ de câteva sute de cifre, deci nu este neapărat o problemă.